试谈数学教学中的思维定向

现代教育心理学的研究表明：教学，从本质上说，就是为学生的内部学习过程创设最佳的外部条件，以支持和巩固内部学习的进行．根据前苏联心理学家列昂节夫所提出的：学习过程是由定向五环节、行动环节反馈环节组成的一个环状的结构系统这一原理，可以认为，教学思维的定向环节就是教师通过一定方式的信息输入，使学生在大脑中枢建立完备的思维映象，从而形成，调节或强化学习行动，使学生能按照既定的方向进行思维活动．本文试图结合教学实例说明数学课堂教学如何进行合理的思维定向，使学生能在教师的正确引导下，变被动学习为主动学习，在数学学习的过程中掌握数学思想方法，进而提高学生的数学素质．

要使学生真正成为学习的能动主体，在学习中掌握一定的数学方法和思想的关键一环就是首先让学生懂得：学什么和怎样学，从而知晓应怎样才能进入“角色”．为此，新课伊始教师必须施行总体思维定向，让学生粗知这堂课学习的目标，方法和意义，以形成总揽全课的初步思维映象，进而取得启动学生的思维机器，为整堂课的圆满完成奠定基础之功效．

例如，在《球的体积》这堂课的课前，我们是以下面的一段话进行思维定向：

我们已经学习了柱、锥、台的体积公式的推导．回顾这些公式的推导，最初都是运用祖暅原理，将欲求体积的新几何体用我们能够求出体积的另一个几何体来代替，而后一个几何体要满足祖暅原理的两个条件：一是与新几何体等高，这就保证它们能夹在两个平行平面之间，二是把它们放在一个平面后，任意平行于底面的截面面积总是相等，例如，在求一般锥体的体积时，我们就是用了一个满足上述条件的三棱锥来代替它，由三棱锥的体积推出一般锥体的体积，今天我们仍然从总体上按这种思路来探寻球的体积（板书课题），球的体积公式在一般数学书籍中都能查到，它具有广泛的应用性．然而比公式本身更重要的是，我们能否在不看书的情况下，像前人一样通过试验、猜想、构造出一个满足祖暅原理条件的几何体，从而求出并证明球的体积公式，当然，这里所说的构造是指：当没有现成的满足祖暅原理条件的替代体时，通过已知体积的几何体的割或补创造一个满足该条件的几何体，掌握这种方法对我们今后独立地探索有关数学问题无疑是有益的．

易见，上面的定向既为学生下一阶段的学习做好了思维上的准备，又调动了学生的学习积极性，因此学生们都能跃跃欲试地投入新课的学习，当然，这种导言定向可依教学的内容，学生的状况和学时的长短而采用诸如：以旧引新、设疑激趣、原型启发、形似类比等方式，但无论采用何种方式都应以：启迪思维、激发情趣、言简意赅、着意求实为原则．

在学生形成初步的思维映象后，随着问题的进一步探讨，由于新旧知识之间不能建立起联系，或受负思维定势的影响，往往使学生思维活动受到阻碍．此时，教师必须在关键处通过示范、试验、提示等定向方式不断地为学生及时提供思维的新动力，使教学过程能正常进行．现以《球的表面积》的推导为例说明之：

课本在此首次引进了无限细分求和的推理方法来推导球的表面积，为了使这一推理方法能顺乎情理地被学生所接受，我们逐次按下面的方式对学生进行思维定向．

图一

首先，通过类比启发求得解决问题的方法，教师提示：从前面的解题经验我们已经看到，有关旋转面的问题往往可以从其轴截面相类似的问题中借鉴到行之有效的解决方法，而半球的轴截面是半圆，对半圆我们可用什么方法近似求出它的面积？联想到初中多边形与圆的面积关系及不规则面积的近似求法，学生自然提出以下两种设想：

一是将半圆分为若干个等腰三角形，以这些等腰三角形的面积之和逼近半圆的面积（见图一）．

二是将半圆分为若干个等腰梯形或等腰三角形，以这些等腰梯形或等腰三角形的面积之和逼近半圆的面积（见图二）．

教师在肯定学生的方案后又问：就我们现有知识而言，上述两种方案中哪一种所对应的旋转面为我们所熟悉，从而能为我们所借鉴？据此，我们应如何求半球的表面积？

通过选择、类比学生很顺当地提出求半球面的面积的方法——用平行于底面的平面将半球切成若干个“薄片”，以每一“薄片”的内接圆台或圆锥的侧面积之和来逼近半球面的面积．

其次是分散难点，溶预备定理于探讨问题的过程中，使之成为整个问题的有机组成部分，而非节外之物，为此，教师先让学生试用公式

求所有的内接圆台或圆锥的侧面积之和，通过运算发现无法导出半球面的面积．

原因何在？教师再作思维定向：这是由于上面的圆台侧面积公式有三个参数r,

和l,代入求和后所有的r₁, r₂,L,r_n既不会随着n的增大而趋于常数，又不能在求和过程中合并为常数，这就促使我们考虑能否用其

它参数来表示球面的内接圆台的侧面积以利于推导半球面和面积？

紧接着引导学生结合平面几何的有关知识来考察球面内接圆台的轴截面（见图三）．使学生们很快意识到，作为已知半径为R的圆内接等腰梯形，其形状完全被Rt△ABH所决定，由于r,

一旦给定，BH也就确定，故给定l、r和

后圆台高h也就确定．另一方面球心到母线的距离p与l也互为决定，且

时，

；h₁、h₂、L、h_n之和也为R，这说明我们可以也应当用仅含有两个参数这p和h的式子来表示圆台的侧面积．

通过进一步地探讨p、h与l、r、

之间的关系，学生们自然得出课本的预备定理：

．

通过上面的例子我们看到：这种在具体教学过程中的思维定向是课堂教学的核心，其关键是要因实际情况，加工和处理好教材内容，把握好定向的缓急轻重，以符合学生的学习心理和思维规律为原则，及时提供思维动力，促使教师的主导作用和学生的主体作用趋于和谐统一，以达到使学生在学习中潜移默化地发展自己的创新思维的目的．

一般认为，列昂节夫的学习理论的可取之处就在于它将定向环节，行动环节和反馈环节的结构模式的开始阶段和终结阶段衔接起来，这就提示了人们认识的发展规律，人们即对真理的认识总是要经过实践（探索）——认识——再实践（再探索）——再认识这样一种由浅入深，由表及里，由初级到高级的不断发展和完善过程．据此，要求我们在教学中，尤其对一些较为难懂和抽象概念的引入，在为学生提供思维动力的同时，还要注意反馈信息，通过以疑引思，及时小结等定向手段来充实和完善学生的思维成果，下面就以《数列的极限概念》的教学为例说明之．

第一步，以实例引出数列极限的初级定义，给出的具体存在极限和不存在极限的几组数列让学生观察，让学生观察后，发现有的数列中的项随着n的增大并不趋于一个常数，而有的数列中的项随着n的增大尽管有的呈递增变化；有的呈递减变化；有的呈摆变化，然而它们却都有一个共同的特点即：随着n的增大，数列的项可以无限地趋近于一个常数，我们把这个常数叫作这个数列的极限，从而得出：

数列的极限定义1：当数列{