运用元认知，作好例题教学

三明二中　范训库

    元认知理论是1976年由美国的儿童心理学家弗莱尔提出的，９０年代初在我国的教育界引起专家的关注。所谓的元认知，是指一种对自己认知过程和认知能力的认识，即反省认知。它包括元认知知识，元认知体验，元认知监控三个方面，三者有机地结合在一起，形成元认知结构.。而例题的示范作用在数学的教学中起到理解知识、消化知识、运用知识等作用。本文就如何运用元认知，作好数学例题教学作一些初探。

一．运用元认知知识，选好示范例题。

数学元认知知识，即个体对自己或他人数学认知活动的过程、结果及有关事项的认识，它包括个人已有的数学基础知识，学习习惯，学习方法，逻辑思维能力等。因而，教师在选择例题的过程中，要充分了解学生，明确学生的现有水平，把握学生的思维特点，具体可以从以下几个方面考虑：

（１）所选例题是否符合教学目的；（２）所选例题在解题过程中需要哪些

数学知识；（３）所选例题所采用方法是否为大多数学生所接受。如：在讲述直线与圆锥曲线位置时，我选用了下例。

例题１：过作倾斜角为的直线交抛物线于两点，再作与平行的直线交抛物弧于两点，求面积的最大值。

解：由题意可设：的方程为：，

由，消去，得：，由于直线与抛物线交弧于两点，由得。

由，据平行线间的距离公式得：

间的距离.

.

当且仅当时，取到最大值32。

这是很好的例题，它所涉及的知识为大纲内容所要求的，是学生必须掌握的基础内容，同时它所用的方法也是常用的重要方法，而且其难度不大，此的选用达到教学的预期目的。

　　二：运用元认知体验，适时选用例题。

　　元认知的体验是指在自我认识的过程伴随的认识体验的情感体验。它主要表现为：学生现有水平；学生的学习兴趣；学生对解决问题的信心；对成功或失败的情感变化。因此，教师在选用例题时，可从以下几个方面考虑：（１）学生对该学科的态度；（２）例题的难度是否适合大多数学生；（３）解题方法是否为大多数学生所接受。

　　例：求被100除所得的余数。

　　在二项定理应用的教学中，这个例题对学生颇有吸引力，但要引导学生思考：能被100整除的数的特征：末两位数为０；若干个能被100整除的数的和仍然能被100整除；如何将表示成的形式，能表示成吗？；如此引导，学生个个跃跃欲试。

　　解；

显然能被100整除，

而，它被100除余数为81。　　

　　对本例的方法，还可问：今天是星期五，再过天后的第一天是星期几？（星期五可以随时改变），在教学中，学生对此题问表现出极大的兴趣，课堂气氛非常活跃。

    在平面解析几何学习的中，对问题解决的方法常常呈现出多样性，因而方法的选择显得尤为重要，有的题目如果方法选择不当，往往会给解题带来很大的麻烦：如计算量大等，而且容易造成错误，因此，在选择例题时，要尽量把当前的内容同学生学过的方法相结合，起到两全齐美，如下例：

  　例：过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，抛物线的准线交其对称轴于点，问的大小与的取值是否有关？

 

                                   A

                                                             

                                                            

                 S    O     F

                                                              

                          B

                                                              

 

 

　　解：设，由，得

不妨设，则由到角公式有：

　

所以，的大小与的取值无关。

　　笔者在讲解过程中，从学生的叹息声中了解到学生对此解法的“恐惧感”。事实上，回顾整个解题过程，所选用的方法是常用方法，但计算量大，稍不细心就会出错；遗漏的假设，也会给解题带来不必要的讨论，从而增加难度。

　　如能从学生的思维习惯和初中平面几何知识角度出发，能大降低难度，既易被学生所接受，又能达教学目的，如下解法：

　  解：如图：过作于，

于，，。

则：，，

，，，。

又，，，。

，

为定值，即大小与的取值无关。

　　学生的这一解法，成功解决了自身的燃眉之急，是一个把新老知识很好地综合应用的成功示范，简单明了，我把这一解法推荐给学生，引起学生很大的兴趣。

 

三：运用元认知监控，优化解题过程。

元认知监控即个体依据元认知的知识　，在元认知的监控下，例题的教学应从以下几方面考虑：（１）解题的突破口是否明显；（２）学生的错误修正指导；（３）寻找巧妙解法获得最佳效果；（４）回顾解题过程纠正错误；（５）对本例的引伸知识的正负迁移作用。

例4：求过两曲线的交点，圆心在直线圆的方程。

解：由得：.

又由，得两圆的交点

设圆心为，则，得。

所以所求圆的方程为

另解：设所求的圆的方程为，即：

----（*）

由圆心在直线上可得。

若，则有为公共弦的方程。

    引伸：

    （一）： 两圆相交，则圆系的方程为：

    时，方程（*）为公共弦的方程。

    时，方程（*）为圆的方程。

    （二）：求过两曲线的交点的曲线系的方程的方法：

    设两曲线的方程分别为和，它们的交点为，则方程

所表示的曲线也过点P。

     这一结论对学生的正迁移为：简化解题过程，但负迁移也有，如下例子：

     例5：求两抛物线和的交点的圆的方程。

     解：设所求圆为（。即

     令，得圆的

  

     为所求。

事实上，上述方程所表示的圆不存在（配方即可知），错因：两抛物线没有交点。

    上述几例说明，充分运用元认知监控，注意知识的严密性岢以得出满意的结果。